三角関数の加法定理の証明

三角関数の加法定理の証明の図をsvgで書いてみた。

証明というか説明すると、

• まずOAが１の直角三角形OBCを書く。
• OBを斜辺とする直角三角形OBCを描く。
• AからOCに垂線を引き、OCとの交点をE、OBとの交点をFとする。
• BからAEに垂線を引き、その交点をGとする。
• ABはsinαである。
• OBはcosαである。
• BCはOBsinβ = cosαsinβである。
• OCはOBcosβ = cosαcosβである。
• ∠BFA = ∠OFEである。∠ABF=∠FEO=90°である。よって∠BAF=∠FOE=βである。
• よってAGはABcosβ = sinαcosβ､BGは sinαsinβである。
• sin(α+β)はAEに等しい。OAが１なので。
• AE=AG+GE=AG+BC=sinαcosβ+cosαsinβである。よってsin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ
• 同様にcos(α+β)=OE=OC-EC=cosαcosβ - sinαsinβである。

証明法はこれ以外にもいろいろあるのだけれど、私はこれが一番わかりやすかった。子供の数学の教科書の証明はちょっとわかりにくかった。